SOLUSI ALTERNATIF OSN MAT SMP TINGKAT PROPINSI ISIAN SINGKAT NO.10 YANG LEBIH ELEGAN

SOAL :

Tim Sepakbola terdiri atas 25 orang, masing-masing diberi kaos bernomor 1 sampai dengan 25. Banyak cara memilih tiga pemain secara acak dengan syarat jumlah nomor kaos mereka habis dibagi tiga adalah ...

SOLUSI :

Terdapat 25 nomor  kaos berbeda mulai dari nomor 1 s/d 25.

Misalkan S = {1,2,3,…,25}, kemudian S dikelompokkan menjadi 3 himpunan misalkan A, B, C sehingga A gabung B gabung C = S.

Untuk menentukan jumlah nomor 3 kaos agar habis dibagi 3, maka kita bagi menjadi 4 kasus sbb:

Kasus 1:

A himp bagian S, A={x|x = 3m, 1<m<8}

A = {3,6,9,….,24}, sehingga n(A)=8

Misalkan P = {(x₁,x₂,x₃)| (x₁+x₂+x₃) habis dibagi 3, x₁,x₂,x₃ elemen A}, sebagai contoh: 3+6+9=18 habis dibagi 3

Banyak kemungkinan jumlah nomor 3 kaos berbeda habis dibagi 3 adalah n(P) = 8C3 = 56

Kasus 2:

B himp bagian S, B={y|y = 3m+1, 0<m<8}

B = {1,4,7,….,25}, sehingga n(B)=9

Misalkan Q = {(y₁,y₂,y₃)| (y₁+y₂+y₃) habis dibagi 3, y₁,y₂,y₃ elemen B}, sebagai contoh: 1+4+7=12 habis dibagi 3

Banyak kemungkinan jumlah nomor 3 kaos berbeda habis dibagi 3 adalah n(Q) = 9C3 = 84

Kasus 3:

C himp bagian S, C={z|z = 3m+2, 0<m<7}

C = {2,5,8,….,23}, sehingga n(C)=8

Misalkan R = {(z₁,z₂,z₃)| (z₁+z₂+z₃) habis dibagi 3, z₁,z₂,z₃ elemen C}, sebagai contoh: 2+5+8=15 habis dibagi 3

Banyak kemungkinan jumlah nomor 3 kaos berbeda habis dibagi 3 adalah n(R) = 8C3 = 56

Kasus 4:

Misalkan T = {(x,y,z)| (x+y+z) habis dibagi 3, x elemen A,y elemen B, z elemen C}, sebagai contoh: 3+1+2=6 habis dibagi 3

Banyak kemungkinan jumlah nomor 3 kaos berbeda habis dibagi 3 adalah n(T) = 8C1 . 9C1 . 8C1 = 8 . 9 . 8 = 576

Jadi banyak cara agar jumlah nomor 3 kaos berbeda habis dibagi 3 adalah 56 + 84 + 56 + 576 = 772