Gradien Garis

Gradien Garis (m)

1.   Pengertian Gradien

Gradien suatu garis adalah bilangan yang menyatakan kecondongan suatu garis yang merupakan perbandingan antara komponen y dan komponen x.

m =   à y = mx

2.   Perhitungan Gradien

a.  Menghitung Gradien pada Persamaan y = mx

Besar gradien garis yang persamaannya y = mx adalah besarnya koefisien x, sehingga dapat disimpulkan bahwa nilai gradien dalam suatu persamaan garis sama dengan besar nilai konstanta m yang terletak di depan variabel x, dengan syarat, persamaan garis tersebut diubah terlebih dahulu ke dalam bentuk y = mx

Contoh Soal :

Tentukanlah gradien dari persamaan garis berikut.

a.  y = 2x

b.  x = 2y

c.   2x + 3y = 0

Jawab :

a.  Persamaan garis Y = 2x  mempunyai gradien m = 2

b.  Persamaan garis x = 2y harus diubah dulu menjadi

x = 2y

2y = x

y =

y=  ,  Jadi nilai gradiennya adalah m =

c.    Persamaan garis 2x + 3y = 0   harus diubah dulu menjadi

2x + 3y = 0

3y = -2x

y =

y =  -   ,  Jadi nilai gradiennya adalah m = -

b.  Menghitung Gradien pada Persamaan Garis y = mx + c

Sama halnya dengan perhitungan gradien pada persamaan garis y = mx, perhitungan gradien pada garis y = mx + c dilakukan dengan cara menentukan nilai konstanta di depan variabel x. Sehingga Garis dengan persamaan y = mx + c memiliki gradien m.

Contoh Soal :

Tentukanlah gradien dari persamaan garis berikut.

a.  y = 4x + 6

b.  2y = x + 12

c.   2 + 4y = 3x + 5

Jawab :

a.  Persamaan garis y = 4x + 6 mempunyai gradien m = 4

b.  Persamaan garis 2y = x + 12 harus diubah dulu menjadi

2y = x + 12

y =

y =  +

y =  + 6,   Jadi nilai gradiennya adalah m =

c.   Persamaan garis 2 + 4y = 3x + 5 harus diubah dulu menjadi

2 + 4y = 3x + 5

4y = 3x + 5 – 2

4y = 3x + 3

y =

y =  +  ,   Jadi nilai gradiennya adalah m =

c. Menghitung Gradien pada Persamaan Garis ax + by + c = 0

Sama seperti sebelumnya, gradien pada persamaan garis ax + by + c = 0 dapat ditentukan dengan cara mengubah terlebih dahulu persamaan garis tersebut ke dalam bentuk y = mx + c. Kemudian, nilai gradien diperoleh dari nilai konstanta m di depan variabel x.

Atau untuk mencari nilai gradien garis dengan persamaan ax + by + c = 0 dapat ditentukan dengan rumus m =

Contoh Soal :

Tentukanlah gradien dari persamaan garis berikut.

a.    x + 2y + 6 = 0

b.    2x – 3y – 8 = 0

c.    4x + 5y = 9

Jawab :

a.  Persamaan garis x + 2y + 6 = 0 harus diubah dulu menjadi

x + 2y + 6 = 0

2y = -x – 6

y =

y =   -

y = -  - 3,    jadi nilai gradiennya adalah m = -

atau dengan menggunakan rumus m = -

dimana a = 1, b = 2 dan c = 6   sehingga nilai gradiennya adalah m = -

b.  Persamaan garis 2x - 3y - 8 = 0 harus diubah dulu menjadi

2x - 3y - 8 = 0

-3y = -2x + 8

y =

y =   +

y =   - ,    jadi nilai gradiennya adalah m = 

atau dengan menggunakan rumus m = -

dimana a = 2, b = -3 dan c = -8   sehingga nilai gradiennya adalah m = -  =

c.   Persamaan garis 4x + 5y = 9 harus diubah dulu menjadi

4x + 5y = 9

5y = -4x + 9

y =

y =   +

y = -  + ,    jadi nilai gradiennya adalah m = -

atau dengan menggunakan rumus m = -

dimana a = 4, b = 5 dan c = -9   sehingga nilai gradiennya adalah m = -

d.  Menghitung Gradien pada Garis yang Melalui Dua Titik

Ingat kembali bahwa gradien suatu garis adalah perbandingan antara komponen y dan komponen x ruas garis yang terletak pada garis tersebut.

Sehingga besarnya nilai gradien garis yang melalui dua titik (x₁ , y₁) dan (x₂ , y₂) adalah :

m =  =

Catatan:

Selisih antara dua bilangan x₁ dan x₂ dinotasikan dengan

x = x₂ – x₁ ( dibaca: delta).

Contoh Soal :

Tentukan gradien garis

yang melalui titik

a. A(1, 2) dan B(3, 0);

b. C(–3, 1) dan D(–2, –5).

Jawab :

a. Gradien garis yang melalui titik A(1, 2) dan B(3, 0)adalah

m_AB   =

m_AB   =  

        = 

        = 

           = -1,     jadi nilai gradiennya adalah m = -1

b. Gradien garis yang melalui titik C(-3 , 1) dan D(-2 , -5)adalah

m_CD =

m_CD =  

           = 

           = 

           = 

           = -6,     jadi nilai gradiennya adalah m = -6

Latihan :  Uji Kompetensi 3.2

Halaman 53, nomor 1 - 5